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零狀態響應，是指電路在零初始狀態下(即儲能元件的初始能量為零)，僅由外加電源激勵所產生的電路響應。而零輸入響應是指動態電路中無外施激勵電源，輸入信號為零，僅由動態元件(電感元件或電容元件)的初始儲能所產生的響應。

圖42-1

??上圖42-1所示RC串聯電路，開關K閉合前電路處于零初始狀態，也就是電容電壓為零，uC(0-)=0。在t=0時刻，開關K閉合，電路接入直流電壓源US。根據回路電壓列出KVL方程，可以得到，電阻電壓加上電容電壓等于電源電壓。

??根據VCR：uR=iR、i=CduC/dt，代入KVL方程得到一階線性非齊次方程，如圖42-1所示。所謂非齊次，是指等號右邊不為零，而是等于US。區別于我們上次所學的RC電路的零輸入響應，即“所謂一階，是指方程中關于uC的導數是一階導數(duC/dt)，在電路中表現為僅含一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的電路;齊次在這里指的是等號右邊為零?！?img src="https://css.007swz.com/skin/b2b/image/lazy.gif" class="lazy" original="http://image.007swz.com/2023/02-07/483746134.jpg" title="6EP1334-2BA20.jpg" alt="6EP1334-2BA20.jpg"/ width="1200" height="1200" loading="lazy">

??一階線性非齊次方程的求解，我們直接套用公式，由特解和對應的齊次方程的通解兩個分量組成，如圖42-2所示。

圖42-2

??所謂方程的通解，不同的微分方程具有不同的形式，例如我們上次學習中遇到的一階齊次微分方程，方程的通解為uC =Aept。這是因為對于一個微分方程而言，其解往往不止一個，而是有一組，可以表示這一組中所有解或者部分解的統一形式，就稱為通解。而特解是這個方程的所有解當中的某一個，為已知數。

??圖42-3

??我們求解圖42-2中的方程，先求其特解，如圖42-3所示，特解的求解相對簡單，因為它是一個已知數，直接代入方程即可。常數的微分為零，求出特解即為US;而齊次方程的通解，我們在上一次也已經學習過，結合時間常數τ，可以得出特解的公式。后得出非齊次方程的通解如圖42-3所示。

??現在通解公式中只有一個未知數A,我們代入電容電壓t=0 時的初始值uC(0 )=uC(0-)=0，可以求出A=-US。為什么代入初始值呢?曹老師在《電工基礎》中也提到，求積分常數A時，可以找t等于某一時刻時的電容電壓值代入通解公式，比較容易計算的時間有t=0 時刻和t=∞時刻，那為什么不是選t=∞呢?這是因為t=∞時，Ae-t/τ趨于零，此時計算A無意義。

??圖42-4

??終，我們就可以得到RC電路的零狀態響應的電容電壓、電路電流的解如圖42-4所示。畫出電容定壓和電流的變化規律，可以看到，電容電壓uC以指數形式趨近于它的終恒定值US，當電容電壓達到恒定值US后，電壓和電流不再變化，此時電容相當于開路，電流為零。此時電路達到穩定狀態，簡稱穩態，把電容電壓的特解部分稱為穩態分量，對應齊次方程的通解部分稱為暫態(瞬態)分量。結合我們上次所學的RC電路的零輸入響應，可以得出，暫態分量按指數規律衰減，其變化規律取決于特征根(或者說取決于時間常數τ)。

??知道了RC電路的零輸入響應與零狀態響應，學習RC電路的全響應就簡單多了。所謂全響應是指當一個非零初始狀態的一階電路(只有一個動態元件)受到外電源激勵時，電路的響應。圖42-5所示RC串聯電路，電容在換路前已充有一定能量，其電壓為U0。

??圖42-5

??顯然，RC串聯電路的全響應和零狀態響應之間只差了一個初始值。全響應的方程解如圖42-5所示，和圖42-4相比較，可以發現，當圖42-5中的U0=0時，就變成了圖42-4中的結果。其實從另一個角度思考，根據疊加定理，全響應的解恰好是的等于零輸入響應的解 零狀態響應的解。

??圖42-6

??如圖42-6所示，全響應可以分解為零狀態響應和零輸入響應，也可以分解為瞬態分量和穩態分量，但不管怎么分解，都是從不同角度去分析全響應的。全響應總是由初始值、特解和時間常數三個要素決定的?？梢岳萌胤ㄇ蠼庖浑A線性電路微分方程。

??在直流電源激勵下，若一階動態電路的初始值為f(0 )，特解為穩態解f(∞)，時間常數為τ，則全響應如圖42-7所示。只要知道f(0 )、f(∞)和τ這三個要素，就可以根據圖42-7的式子直接寫出直流激勵下一階電路的全響應。

圖42-7

??RC電路的零狀態響應曲線的起點是零點，類似的，全響應的曲線又是怎樣的呢?大家可以自行思考，嘗試畫一下。

??利用三要素法求解RC電路的全響應，主要是計算三要素，初始值我們之間也已經學過了，時間常數完全取決于電路的R和C，電阻的計算可以通過電阻的等效變換計算，后是穩態值，因為電路達到穩態時電容相當于開路，根據這個特性可以很快地算出穩態值。

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